Axiomatiser, est-ce fonder ?

i) Présentation du paradoxe et des définitions : Le sujet est "axiomatiser, est-ce fonder?". Si on suppose qu'effectivement axiomatiser signifie établir des axiomes qui servent de fondements solides à une théorie, alors cela implique que l'axiomatisation permet de donner une base logique et rigoureuse à cette théorie. Au contraire, si on nie qu'effectivement axiomatiser fonde une théorie, cela a pour conséquences que les axiomes ne garantissent pas nécessairement la validité ou la vérité de la théorie.
ii) Énonciation des alternatives et problématisation : Il semble à première vue que oui, axiomatiser fonde une théorie, puisque cela permet de fournir des bases solides pour la construction et la validation de cette théorie. Donc, par définition, il semblerait que l'axiomatisation soit la clé de voûte pour établir des fondements solides et fiables d'une théorie, ce qui est considéré généralement comme vrai. Cependant, à première vue, on peut aussi soutenir que l'axiomatisation ne fonde pas réellement une théorie, car l'expérience montre souvent que certaines théories axiomatisées se révèlent paradoxalement incomplètes ou inadéquates pour rendre compte de la réalité.
iii) Problématique : On pourra alors se demander : Est-ce que l'axiomatisation fonde réellement une théorie (thèse 1) ou bien est-ce que l'axiomatisation, malgré son apparent pouvoir de fondation, laisse subsister des aspects non fondés et des paradoxes (thèse 2) ?
iv) Annonce du plan : Dans un premier temps, il s'agira de voir que l'axiomatisation offre une méthodologie rigoureuse et solide pour poser les fondations d'une théorie en fixant des axiomes de base. Puis, nous verrons que malgré cela, certaines théories axiomatisées peuvent présenter des limites et des paradoxes qui mettent en doute leur capacité à fonder pleinement une théorie. Enfin, nous nous demanderons si l'axiomatisation peut être considérée comme le seul critère de fondation d'une théorie ou si d'autres éléments sont également nécessaires et complémentaires.