Les mathématiques ont-elles besoin d'un fondement ?

I) Présentation du paradoxe et définitions :
Les mathématiques ont-elles besoin d'un fondement ? Si on suppose qu'effectivement les mathématiques ont besoin d'un fondement, cela implique que les concepts mathématiques doivent reposer sur des bases solides et indiscutables. Au contraire, si on nie qu'effectivement les mathématiques ont besoin d'un fondement, cela signifie que les mathématiques peuvent être construites de manière purement formelle, sans nécessiter de référence externe.

II) Énonciation des alternatives et problématisation :
Il semble à première vue que oui, les mathématiques ont besoin d'un fondement, puisque cela garantirait leur cohérence et leur validité. Donc, par définition, il semblerait que les mathématiques nécessitent une base solide pour s'appuyer, ce qui permettrait de fonder leurs raisonnements et leurs démonstrations (thèse 1). Cependant, si l'on examine de plus près, il apparaît que l'expérience montre souvent que les mathématiques peuvent se développer sans référence à un fondement extérieur. En effet, les mathématiques pures, axées sur la manipulation symbolique et les règles formelles, semblent pouvoir se construire de manière autonome, sans nécessiter un fondement externe (paradoxe). Paradoxalement, on a alors l'impression que les mathématiques peuvent être à la fois fondées et autonomes.

III) Problématique :
On pourra alors se demander : est-ce que les mathématiques ont réellement besoin d'un fondement externe pour être cohérentes et valides (thèse 1), ou bien peuvent-elles se développer de manière autonome, sans nécessiter de référence extérieure (paradoxe) ?

IV) Annonce du plan :
Dans un premier temps, il s'agira d'analyser les arguments en faveur de l