Peut-on démontrer tout et son contraire ?

I) Présentation du paradoxe et définitions :
Peut-on démontrer tout et son contraire ? Si on suppose qu'effectivement il est possible de démontrer tout et son contraire, alors cela implique que la logique et la cohérence des arguments peuvent être remises en question. Au contraire, si on nie qu'effectivement on puisse démontrer tout et son contraire, alors cela a pour conséquences que certaines propositions sont intrinsèquement indémontrables ou que la notion de démonstration est limitée.

II) Énonciation des alternatives et problématisation :
Il semble à première vue que non, puisque la démonstration repose sur la logique et la cohérence des arguments. Donc, par définition, il semblerait que l'on ne puisse pas démontrer tout et son contraire, ce qui est une réponse évidente au sujet (doxa). Cependant, à première vue, on peut soutenir que la démonstration de tout et son contraire peut être possible dans certains contextes philosophiques ou logiques. Il semble pourtant que l'expérience montre bien souvent que cela contredit la réponse évidente (paradoxa). En effet, il existe des paradoxes logiques tels que le paradoxe du menteur ou le paradoxe de Russell, qui mettent en évidence des propositions qui ne peuvent être ni démontrées ni réfutées de manière cohérente. Paradoxalement, on a alors l'impression que la démonstration de tout et son contraire peut être envisageable dans certains cas spécifiques.

III) Problématique :
On pourra alors se demander : est-ce que l'on peut réellement démontrer tout et son contraire, ou bien y a-t-il des limites à la démonstration ?

IV) Annonce du plan :
Dans un premier moment, il s'agira de voir que la démonstration repose sur